Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
H(t) = (a t^2 + b) e^(-c t)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função e simplificar a resposta. Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia, que são fundamentais para derivar funções que são produtos de duas ou mais funções.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função é o produto de duas funções:
Para derivar , vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é igual à derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Em fórmula:

Passo 3

Vamos calcular , a derivada de :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de uma constante é 0.
    Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A derivada de em relação a é .
Aqui, , então .
Portanto:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto substituindo as derivadas encontradas:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar e na expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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