Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
e simplificar a resposta. Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia, que são fundamentais para derivar funções que são produtos de duas ou mais funções.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a função
é o produto de duas funções:
Para derivar
, vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é igual à derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Em fórmula:
Passo 3
Vamos calcular
, a derivada de
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de uma constante
é 0.
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, a derivada de
. Para isso, usamos a regra da cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A derivada de
em relação a
é
.
Aqui, , então
.
Portanto:
Aqui,
Portanto:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do produto substituindo as derivadas encontradas:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar
e
na expressão:
Resposta
A derivada da função
é: