Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
m y = log[(raiz(1 - x) + raiz(1 + x)) / (raiz(1 - x) - raiz(1 + x))]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função e simplificar o resultado. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre derivadas de funções compostas e logarítmicas. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, a derivada do logaritmo e a derivada de funções envolvendo raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. Observamos que temos uma fração com raízes quadradas no numerador e denominador:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada do denominador, que é :
Simplificando:
Isso resulta em:

Passo 3

Agora, nossa função fica:
Como o logaritmo de um produto ou quociente envolve propriedades que facilitam a derivação, podemos deixar dessa forma para aplicar a regra da cadeia posteriormente.

Passo 4

Vamos derivar em relação a . A derivada de é . Aqui, .
Primeiro, encontramos . Vamos derivar usando a regra do quociente:
A derivada de é:
Calculando as derivadas necessárias:
Substituindo de volta:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Agora, voltamos à derivada de :

Passo 6

Podemos simplificar ainda mais multiplicando numerador e denominador por para racionalizar o denominador:

Resposta

A derivada da função é:

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