Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função
e simplificar o resultado. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre derivadas de funções compostas e logarítmicas. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, a derivada do logaritmo e a derivada de funções envolvendo raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. Observamos que temos uma fração com raízes quadradas no numerador e denominador:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada do denominador, que é
:
Simplificando:
Isso resulta em:
Passo 3
Agora, nossa função fica:
Como o logaritmo de um produto ou quociente envolve propriedades que facilitam a derivação, podemos deixar dessa forma para aplicar a regra da cadeia posteriormente.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
. A derivada de
é
. Aqui,
.
Primeiro, encontramos
. Vamos derivar
usando a regra do quociente:
A derivada de
é:
Calculando as derivadas necessárias:
Substituindo de volta:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Agora, voltamos à derivada de
:
Passo 6
Podemos simplificar ainda mais multiplicando numerador e denominador por
para racionalizar o denominador:
Resposta
A derivada da função é: