Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de derivadas, mais especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar aplicar essas regras para encontrar a derivada de forma correta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de . Então:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. A regra da cadeia diz que a derivada de é .

Passo 4

Identificando as partes da nossa função para aplicar a regra da cadeia:
  • A função externa
  • A função interna

Passo 5

Vamos derivar a função externa em relação a :

Passo 6

Agora, vamos derivar a função interna . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que a derivada de é .

Passo 7

Identificando:
  • então
  • então
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 8

Voltando à regra da cadeia, a derivada de é:
Substituindo e :

Passo 9

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, simplificamos a raiz quadrada:
Então, a expressão fica:

Passo 10

Multiplicando as frações:

Resposta

A derivada da função é:

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