Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular a derivada da função
. Isso envolve o conteúdo de derivadas, mais especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente. Vamos precisar aplicar essas regras para encontrar a derivada de forma correta.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que a raiz quadrada pode ser escrita como uma potência de
. Então:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. A regra da cadeia diz que a derivada de
é
.
Passo 4
Identificando as partes da nossa função para aplicar a regra da cadeia:
- A função externa
- A função interna
Passo 5
Vamos derivar a função externa em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos derivar a função interna
. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que a derivada de
é
.
Passo 7
Identificando:
-
então -
então
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 8
Voltando à regra da cadeia, a derivada de
é:
Substituindo
e
:
Passo 9
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, simplificamos a raiz quadrada:
Então, a expressão fica:
Passo 10
Multiplicando as frações:
Resposta
A derivada da função é:
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e
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e
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/ano e
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