Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas implícitas, que ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente quando a equação da curva não está resolvida para
.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que o ponto
está realmente na curva. Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Então, o ponto está na curva mesmo!
Passo 3
Agora, vamos derivar a equação da curva em relação a
para encontrar
, que é a inclinação da reta tangente.
Derivando cada termo:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos reorganizar para isolar
. Primeiro, coletamos os termos com
de um lado e os demais do outro:
Fatorando
:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Passo 6
Vamos calcular
no ponto
. Substituindo
e
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 7
Agora que temos a inclinação
e o ponto
, podemos usar a equação da reta na forma:
Substituindo:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é
.
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Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
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A reta normal à curva
no ponto
é a reta perpendicular à tangente no ponto
. Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.
A reta normal à curva
no ponto
é a reta perpendicular à tangente no ponto
. Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.