Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas implícitas, que ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente quando a equação da curva não está resolvida para .

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o ponto está realmente na curva. Substituindo e na equação:
Simplificando:
Então, o ponto está na curva mesmo!

Passo 3

Agora, vamos derivar a equação da curva em relação a para encontrar , que é a inclinação da reta tangente.
Derivando cada termo:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos reorganizar para isolar . Primeiro, coletamos os termos com de um lado e os demais do outro:
Fatorando :

Passo 5

Agora, isolamos :

Passo 6

Vamos calcular no ponto . Substituindo e :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 7

Agora que temos a inclinação e o ponto , podemos usar a equação da reta na forma:
Substituindo:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
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A reta normal à curva no ponto é a reta perpendicular à tangente no ponto . Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.
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