Uma estimativa muito utilizada para determinar a quantidade de madeira que existe em uma tora de eucalipto desprezando-se a sua casca é o volume dado por
onde é a altura da tora, e são os raios superior e inferior da tora, respectivamente. As taxas de aumento de e são respectivamente ano, /ano e ano. Qual a taxa de aumento de no instante em que ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a taxa de aumento do volume da tora de eucalipto, dado pela fórmula:
Aqui, é a altura da tora, e são os raios superior e inferior. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, especialmente a derivada de funções com múltiplas variáveis. Isso nos ajudará a descobrir como muda ao longo do tempo quando , e estão aumentando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula do volume:
Aqui, depende de três variáveis: , e . Cada uma dessas variáveis está mudando ao longo do tempo, com taxas dadas no enunciado. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação de em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 3

Para encontrar , vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo. Usaremos a regra da derivada para produtos e a regra da cadeia, já que temos múltiplas variáveis que dependem do tempo.
Vamos derivar cada parte:
Explicando:
  • Derivamos multiplicado por , o que dá .
  • Derivamos multiplicado por , o que dá .

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema:
Substituindo esses valores na expressão da derivada:

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculemos :
Agora, calculemos a primeira parte da expressão:
Em seguida, calculemos a segunda parte:

Passo 6

Agora, somamos as duas partes:
Então, a derivada fica:

Resposta

A taxa de aumento do volume da tora no instante dado é .

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(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos e ,
(ii). Determine as assíntotas,
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(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.