Uma estimativa muito utilizada para determinar a quantidade de madeira que existe em uma tora de eucalipto desprezando-se a sua casca é o volume dado por
onde
é a altura da tora,
e
são os raios superior e inferior da tora, respectivamente. As taxas de aumento de
e
são respectivamente
ano,
/ano e
ano. Qual a taxa de aumento de
no instante em que
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a taxa de aumento do volume da tora de eucalipto, dado pela fórmula:
Aqui,
é a altura da tora,
e
são os raios superior e inferior. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, especialmente a derivada de funções com múltiplas variáveis. Isso nos ajudará a descobrir como
muda ao longo do tempo quando
,
e
estão aumentando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula do volume:
Aqui,
depende de três variáveis:
,
e
. Cada uma dessas variáveis está mudando ao longo do tempo, com taxas dadas no enunciado. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação de
em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 3
Para encontrar
, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo. Usaremos a regra da derivada para produtos e a regra da cadeia, já que temos múltiplas variáveis que dependem do tempo.
Vamos derivar cada parte:
Explicando:
- Derivamos
multiplicado por , o que dá . - Derivamos
multiplicado por , o que dá .
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema:
Substituindo esses valores na expressão da derivada:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculemos
:
Agora, calculemos a primeira parte da expressão:
Em seguida, calculemos a segunda parte:
Passo 6
Agora, somamos as duas partes:
Então, a derivada fica:
Resposta
A taxa de aumento do volume da tora no instante dado é
.
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Uma escada de
de comprimento está apoiada em uma parede. O alto da escada está escorregando para baixo ao longo da parede com uma velocidade de
. Com que velocidade a base da escada está se afastando da parede quando o alto se encontra a 3 m do chão?
Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos e
,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.