Uma estimativa muito utilizada para determinar a quantidade de madeira que existe em uma tora de eucalipto desprezando-se a sua casca é o volume dado por
V_T = (pi / 2) h (R^2 + r^2)
onde h é a altura da tora, r e R são os raios superior e inferior da tora, respectivamente. As taxas de aumento de r, R e h são respectivamente 1/10 m ano, 2/10 m /ano e 4/10 m ano. Qual a taxa de aumento de VT no instante em que r=1m, R=1/2 m e h=10m ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos a taxa de aumento do volume da tora de eucalipto, dado pela fórmula:
V_T = (pi / 2) h (R^2 + r^2)
Aqui, h é a altura da tora, r e R são os raios superior e inferior. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas, especialmente a derivada de funções com múltiplas variáveis. Isso nos ajudará a descobrir como muda ao longo do tempo quando r, R e h estão aumentando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula do volume:
V_T = (pi / 2) h (R^2 + r^2)
Aqui, depende de três variáveis: h, R e r. Cada uma dessas variáveis está mudando ao longo do tempo, com taxas dadas no enunciado. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação de em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 3

Para encontrar , vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo. Usaremos a regra da derivada para produtos e a regra da cadeia, já que temos múltiplas variáveis que dependem do tempo.
Vamos derivar cada parte:
Explicando:
  • Derivamos h multiplicado por , o que dá .
  • Derivamos multiplicado por h, o que dá .

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema:
Substituindo esses valores na expressão da derivada:

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculemos :
Agora, calculemos a primeira parte da expressão:
Em seguida, calculemos a segunda parte:

Passo 6

Agora, somamos as duas partes:
Então, a derivada fica:

Resposta

A taxa de aumento do volume da tora no instante dado é .

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