Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos calcular a sua derivada em relação a
. Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos para simplificar a derivação.
Passo 2
Quando temos uma função onde a variável está no expoente, como
, uma boa estratégia é usar o logaritmo natural para facilitar a derivação. Vamos começar tirando o logaritmo dos dois lados da equação:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:
Passo 4
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia). No lado direito, precisamos aplicar a regra do quociente para derivar
.
Passo 5
Derivando o lado direito, temos:
Passo 6
Agora, igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos na equação:
Resposta
A derivada da função
é:
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Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
A reta normal à curva
no ponto
é a reta perpendicular à tangente no ponto
. Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.