Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
y = x^(1/x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos calcular a sua derivada em relação a . Para isso, vamos usar o conteúdo de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos para simplificar a derivação.

Passo 2

Quando temos uma função onde a variável está no expoente, como , uma boa estratégia é usar o logaritmo natural para facilitar a derivação. Vamos começar tirando o logaritmo dos dois lados da equação:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, temos:

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que a derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia). No lado direito, precisamos aplicar a regra do quociente para derivar .

Passo 5

Derivando o lado direito, temos:

Passo 6

Agora, igualamos as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Passo 7

Lembrando que , substituímos na equação:

Resposta

A derivada da função é:

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