Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
l y = raiz(x^2 + e^(raiz(x)))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação para funções compostas e radicais. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e as derivadas básicas de funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Isso ajuda a visualizar que temos uma função externa (a raiz quadrada) e funções internas ( e ).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é:
Aqui, derivamos a parte externa e multiplicamos pela derivada da parte interna.

Passo 4

Calculamos as derivadas das partes internas separadamente:
  • Para :
  • Para , aplicamos a regra da cadeia novamente:

Passo 5

Substituímos as derivadas encontradas de volta na expressão de :

Passo 6

Simplificamos a expressão:
  • Podemos fatorar um 1/2:
  • Multiplicando tudo:
  • Simplificando ainda mais:
  • Finalmente:

Resposta

A derivada da função é:

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