Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação para funções compostas e radicais. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e as derivadas básicas de funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Isso ajuda a visualizar que temos uma função externa (a raiz quadrada) e funções internas (
e
).
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é:
Aqui, derivamos a parte externa e multiplicamos pela derivada da parte interna.
Passo 4
Calculamos as derivadas das partes internas separadamente:
- Para
:
- Para
, aplicamos a regra da cadeia novamente:
Passo 5
Substituímos as derivadas encontradas de volta na expressão de
:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
- Podemos fatorar um 1/2:
- Multiplicando tudo:
- Simplificando ainda mais:
- Finalmente:
Resposta
A derivada da função é:
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. Qual é a taxa de aumento do raio do balão quando o raio é
? (
volume de uma esfera de raio
é dado por
)
Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que
;
Determine
se
e
são funções deriváveis e:
Um tumor é modelado por uma esfera de raio
. Se o raio do tumor é atualmente
e está aumentado à uma taxa de
por mês, qual é a taxa correspondente de aumento do volume
?