Determine
se
e
são funções deriváveis e:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de uma função que é o quociente de duas funções multiplicadas por uma terceira. Especificamente, temos:
Para resolver isso, vamos usar duas regras principais de derivação: a Regra do Quociente e a Regra do Produto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Regra do Quociente, que nos ajuda a derivar funções que são divisões de outras funções. Se temos uma função da forma:
Sua derivada é:
No nosso caso,
e
. Precisamos então derivar
e
.
Passo 3
Vamos derivar
. Aqui usamos a Regra do Produto, que é usada quando temos a multiplicação de duas funções. A regra diz que:
Aplicando isso ao nosso
:
Passo 4
Agora, já temos
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula da Regra do Quociente:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão para deixar mais claro:
Podemos fatorar
nos termos que sobram:
Resposta
A derivada de
é:
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Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Um pequeno balão esférico é introduzido em uma artéria obstruída e inflado a razão de
. Qual é a taxa de aumento do raio do balão quando o raio é
? (
volume de uma esfera de raio
é dado por
)
Um tumor é modelado por uma esfera de raio
. Se o raio do tumor é atualmente
e está aumentado à uma taxa de
por mês, qual é a taxa correspondente de aumento do volume
?
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.