Um tumor é modelado por uma esfera de raio
. Se o raio do tumor é atualmente
e está aumentado à uma taxa de
por mês, qual é a taxa correspondente de aumento do volume
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo um tumor que está crescendo. O tumor é modelado como uma esfera com raio atual de
e está aumentando a uma taxa de
por mês. Nosso objetivo é encontrar a taxa de aumento do volume desse tumor, ou seja, quanto
está crescendo por mês. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de uma esfera. O volume
de uma esfera é dado por:
Aqui,
é uma constante (aproximadamente 3,1416) e
é o raio da esfera.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
.
Aplicando a derivada:
Passo 4
Usando a regra da cadeia na derivação, sabemos que:
Aqui,
é a taxa de variação do raio em relação ao tempo, que já foi fornecida como
.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
Primeiro, calculamos
:
Então:
Passo 6
Multiplicando os números:
Então:
Portanto:
Resposta
A taxa de aumento do volume do tumor é
.
Exercícios relacionados
Determine
se
e
são funções deriváveis e:
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.