Um tumor é modelado por uma esfera de raio R. Se o raio do tumor é atualmente R = 0,5 cm e está aumentado à uma taxa de 0,18 cm por mês, qual é a taxa correspondente de aumento do volume V ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo um tumor que está crescendo. O tumor é modelado como uma esfera com raio atual de e está aumentando a uma taxa de 0,18 cm por mês. Nosso objetivo é encontrar a taxa de aumento do volume desse tumor, ou seja, quanto V está crescendo por mês. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do volume de uma esfera. O volume V de uma esfera é dado por:
Aqui, pi é uma constante (aproximadamente 3,1416) e R é o raio da esfera.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo t.
Aplicando a derivada:

Passo 4

Usando a regra da cadeia na derivação, sabemos que:
Aqui, é a taxa de variação do raio em relação ao tempo, que já foi fornecida como .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
Primeiro, calculamos :
Então:

Passo 6

Multiplicando os números:
Então:
Portanto:

Resposta

A taxa de aumento do volume do tumor é .

Exercícios relacionados

Determine f'(x) se u(x), v(x) e w(x) são funções deriváveis e:
f(x) = u(x) * w(x) / v(x)
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
l y = raiz(x^2 + e^(raiz(x)))
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
p g(t) = (e^t - e^-t) / (e^t + e^-t)
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
y = x^(x-1)