Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que
;
Passo 1
Beleza! A gente vai determinar onde o gráfico da função
está com a concavidade para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função, que é
. A ideia é encontrar onde essa segunda derivada é positiva (concavidade para cima) ou negativa (concavidade para baixo).
Passo 2
Primeiro, vamos achar os valores de
que tornam
ou que deixam a segunda derivada indefinida. Esses valores são importantes porque podem ser pontos onde a concavidade muda.
Passo 3
Vamos resolver
:
O denominador
nunca é zero, então basta resolver o numerador igual a zero:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, temos três pontos críticos:
,
e
. Esses pontos dividem a reta real em quatro intervalos:
Passo 5
Vamos testar um valor de
em cada intervalo para determinar o sinal de
:
-
Intervalo
: - Escolha
: Concavidade para baixo.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: Concavidade para cima.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: Concavidade para baixo.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: Concavidade para cima.
- Escolha
Resposta
O gráfico de
tem concavidade para cima nos intervalos
e
, e concavidade para baixo nos intervalos
e
.