Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
f(x) = 2x / (x^2 + 1), sabendo que f''(x) = 4x(x^2 - 3) / (x^2 + 1)^3;

Passo 1

Beleza! A gente vai determinar onde o gráfico da função está com a concavidade para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função, que é . A ideia é encontrar onde essa segunda derivada é positiva (concavidade para cima) ou negativa (concavidade para baixo).

Passo 2

Primeiro, vamos achar os valores de que tornam ou que deixam a segunda derivada indefinida. Esses valores são importantes porque podem ser pontos onde a concavidade muda.

Passo 3

Vamos resolver :
O denominador nunca é zero, então basta resolver o numerador igual a zero:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, temos três pontos críticos: , e . Esses pontos dividem a reta real em quatro intervalos:

Passo 5

Vamos testar um valor de em cada intervalo para determinar o sinal de :
  1. Intervalo :
    • Escolha : Concavidade para baixo.
  2. Intervalo :
    • Escolha : Concavidade para cima.
  3. Intervalo :
    • Escolha : Concavidade para baixo.
  4. Intervalo :
    • Escolha : Concavidade para cima.

Resposta

O gráfico de tem concavidade para cima nos intervalos e , e concavidade para baixo nos intervalos e .

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