Um pequeno balão esférico é introduzido em uma artéria obstruída e inflado a razão de 0,002 pi mm^3 / min. Qual é a taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R = 0,005 mm ? ( O volume de uma esfera de raio R é dado por V = (4 * pi * R^3) / 3 )

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um balão esférico que está sendo inflado dentro de uma artéria bloqueada. O volume do balão está aumentando a uma taxa de . Queremos descobrir quão rápido o raio do balão está aumentando quando o raio é . Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas de variação relacionadas e a fórmula do volume de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de uma esfera:
Aqui, V representa o volume e R o raio da esfera.

Passo 3

Queremos encontrar a taxa de variação do raio em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo t.

Passo 4

Derivando o lado direito da equação, temos:
Isso porque a derivada de R^3 em relação a t é , e o cancela com o denominador da fração.

Passo 5

Agora, sabemos que e . Vamos substituir esses valores na equação para encontrar .

Passo 6

Vamos simplificar a equação. Primeiro, calculamos :
Substituindo na equação:

Passo 7

Agora, vamos isolar dividindo ambos os lados por :
Os termos pi se cancelam.

Passo 8

Fazendo a conta:

Resposta

A taxa de aumento do raio do balão quando é de .

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