Um pequeno balão esférico é introduzido em uma artéria obstruída e inflado a razão de
. Qual é a taxa de aumento do raio do balão quando o raio é
? (
volume de uma esfera de raio
é dado por
)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um balão esférico que está sendo inflado dentro de uma artéria bloqueada. O volume do balão está aumentando a uma taxa de
. Queremos descobrir quão rápido o raio do balão está aumentando quando o raio é
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas de variação relacionadas e a fórmula do volume de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de uma esfera:
Aqui,
representa o volume e
o raio da esfera.
Passo 3
Queremos encontrar a taxa de variação do raio em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
.
Passo 4
Derivando o lado direito da equação, temos:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
, e o
cancela com o denominador da fração.
Passo 5
Agora, sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar
.
Passo 6
Vamos simplificar a equação. Primeiro, calculamos
:
Substituindo na equação:
Passo 7
Agora, vamos isolar
dividindo ambos os lados por
:
Os termos
se cancelam.
Passo 8
Fazendo a conta:
Resposta
A taxa de aumento do raio do balão quando
é de
.
Exercícios relacionados
Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que
;
Determine
se
e
são funções deriváveis e:
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Determine
se
e
são funções deriváveis e: