Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
x y = x^(x^(2))

Passo 1

Então, temos uma função e precisamos calcular a derivada dela, ou seja, encontrar . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas, em especial a derivação de funções onde a variável está tanto na base quanto no expoente. Isso vai envolver o uso de logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Diferenciando, temos:
Simplificando o segundo termo:

Passo 5

Agora, queremos isolar . Para isso, multiplicamos ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos na equação:
Podemos fatorar no parêntese:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
y = (sen(3x) + cos(2x))^3
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
m y = log[(raiz(1 - x) + raiz(1 + x)) / (raiz(1 - x) - raiz(1 + x))]
Determine f'(x) se u(x), v(x) e w(x) são funções deriváveis e:
d f(x) = 1 / (u(x) v(x) w(x))
Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
f(x) = 2x / (x^2 + 1), sabendo que f''(x) = 4x(x^2 - 3) / (x^2 + 1)^3;