Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
x y = x^(x^(2))

Passo 1

Então, temos uma função e precisamos calcular a derivada dela, ou seja, encontrar . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas, em especial a derivação de funções onde a variável está tanto na base quanto no expoente. Isso vai envolver o uso de logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Diferenciando, temos:
Simplificando o segundo termo:

Passo 5

Agora, queremos isolar . Para isso, multiplicamos ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos na equação:
Podemos fatorar no parêntese:

Resposta

A derivada da função é:

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