Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Passo 1
Então, temos uma função
e precisamos calcular a derivada dela, ou seja, encontrar
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas, em especial a derivação de funções onde a variável está tanto na base quanto no expoente. Isso vai envolver o uso de logaritmos para simplificar a expressão antes de derivar.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Diferenciando, temos:
Simplificando o segundo termo:
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos na equação:
Podemos fatorar
no parêntese:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Determine
se
e
são funções deriváveis e:
Detemine os intervalos cujo gráfico possui concavidade para cima e para baixo de:
, sabendo que
;