Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
p g(t) = (e^t - e^-t) / (e^t + e^-t)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função bem legal:
A missão é calcular a derivada dessa função e deixar a resposta bem simples. Para isso, vamos precisar usar o que a gente aprendeu sobre derivadas de funções que são quocientes de outras funções, ou seja, usar a Regra do Quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é a Regra do Quociente. Se você tem uma função que é uma divisão de duas funções, tipo:
A derivada dessa função, segundo a Regra do Quociente, fica assim:
Ou seja, você deriva o numerador, multiplica pelo denominador, depois subtrai o numerador multiplicado pela derivada do denominador, e divide tudo pelo denominador ao quadrado.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa função:
Aqui, temos:
  • Numerador:
  • Denominador:
Primeiro, vamos derivar f(t) e h(t):
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:

Passo 4

Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar o numerador:
Lembre-se que , então:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função g(t) é:

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