Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função bem legal:
A missão é calcular a derivada dessa função e deixar a resposta bem simples. Para isso, vamos precisar usar o que a gente aprendeu sobre derivadas de funções que são quocientes de outras funções, ou seja, usar a Regra do Quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é a Regra do Quociente. Se você tem uma função que é uma divisão de duas funções, tipo:
A derivada dessa função, segundo a Regra do Quociente, fica assim:
Ou seja, você deriva o numerador, multiplica pelo denominador, depois subtrai o numerador multiplicado pela derivada do denominador, e divide tudo pelo denominador ao quadrado.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa função:
Aqui, temos:
- Numerador:
- Denominador:
Primeiro, vamos derivar
e
:
-
Derivada do numerador:
-
Derivada do denominador:
Passo 4
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Substituindo os valores:
Vamos simplificar o numerador:
Lembre-se que
, então:
Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada da função
é:
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Um tumor é modelado por uma esfera de raio
. Se o raio do tumor é atualmente
e está aumentado à uma taxa de
por mês, qual é a taxa correspondente de aumento do volume
?
Determine
se
e
são funções deriváveis e:
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.