Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Você precisa calcular a derivada da função
e simplificar o resultado. Isso envolve conceitos de derivação e funções exponenciais. Vamos precisar usar a diferenciação logarítmica para facilitar o cálculo.
Passo 2
Para encontrar a derivada de uma função onde a variável está no expoente, como
, a diferenciação logarítmica é uma técnica muito útil. Vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, a equação fica:
Passo 4
Agora, diferenciamos ambos os lados em relação a
. Lembre-se que
pela regra da cadeia:
Passo 5
Para diferenciar
, usamos a regra do quociente, que diz que
. Aqui,
e
. Calculando as derivadas:
Então:
Passo 6
Voltando à equação original da derivada:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta na expressão:
Resposta
A derivada da função é:
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Determine
se
e
são funções deriváveis e:
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.