Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
w y = x^(1/x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Você precisa calcular a derivada da função e simplificar o resultado. Isso envolve conceitos de derivação e funções exponenciais. Vamos precisar usar a diferenciação logarítmica para facilitar o cálculo.

Passo 2

Para encontrar a derivada de uma função onde a variável está no expoente, como , a diferenciação logarítmica é uma técnica muito útil. Vamos começar aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente, a equação fica:

Passo 4

Agora, diferenciamos ambos os lados em relação a . Lembre-se que pela regra da cadeia:

Passo 5

Para diferenciar , usamos a regra do quociente, que diz que . Aqui, e . Calculando as derivadas:
Então:

Passo 6

Voltando à equação original da derivada:
Multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta na expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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