Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
y = x^(x-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função e simplificar o resultado. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas de funções exponenciais onde a base e o expoente são variáveis. Para resolver, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra do logaritmo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Quando temos uma função com a variável no expoente e na base, uma boa estratégia é usar logaritmos. Vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:

Passo 4

Para encontrar a derivada de em relação a , vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Isso resulta em:

Passo 5

Agora, vamos diferenciar cada termo do lado direito separadamente. Para , usamos a regra do produto:
E para .
Então, juntando tudo:

Passo 6

Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão dentro do parêntese:
Mas, para deixar a resposta mais elegante, podemos combinar os termos:

Resposta

A derivada da função é:

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