Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função
e simplificar o resultado. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente derivadas de funções exponenciais onde a base e o expoente são variáveis. Para resolver, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra do logaritmo e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Quando temos uma função com a variável no expoente e na base, uma boa estratégia é usar logaritmos. Vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Passo 3
Agora, aplicamos a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
Passo 4
Para encontrar a derivada de
em relação a
, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Isso resulta em:
Passo 5
Agora, vamos diferenciar cada termo do lado direito separadamente. Para
, usamos a regra do produto:
E para
.
Então, juntando tudo:
Passo 6
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão dentro do parêntese:
Mas, para deixar a resposta mais elegante, podemos combinar os termos:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Um tumor é modelado por uma esfera de raio
. Se o raio do tumor é atualmente
e está aumentado à uma taxa de
por mês, qual é a taxa correspondente de aumento do volume
?
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Determine
se
e
são funções deriváveis e: