Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
F(x)=x^2/(x-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função e depois decidir se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. Para isso, vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas para encontrar esses pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está aumentando ou diminuindo. Para derivar , vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, os pontos críticos são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Vamos encontrar esses pontos:
  1. Derivada igual a zero:
Isso acontece quando o numerador é zero:
  1. Derivada não existe:
A derivada não existe quando o denominador é zero:
No entanto, faz com que a função não esteja definida (há uma assíntota vertical), então não consideramos como ponto crítico da função.
Portanto, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da primeira derivada. Isso envolve ver o comportamento da derivada antes e depois de cada ponto crítico para determinar se é um máximo, mínimo ou ponto ordinário.
  1. Para :
  • Escolha um valor à esquerda de 0, por exemplo, :
  • Escolha um valor à direita de 0, por exemplo, (não válido porque a função não está definida), então escolhemos :
Como a derivada muda de positiva para negativa ao passar por , isso indica que é um máximo relativo.
  1. Para :
  • Escolha um valor à esquerda de 2, por exemplo, :
  • Escolha um valor à direita de 2, por exemplo, :
Como a derivada muda de negativa para positiva ao passar por , isso indica que é um mínimo relativo.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : Máximo relativo
  • : Mínimo relativo

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