Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
e depois decidir se cada ponto é um máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. Para isso, vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas para encontrar esses pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está aumentando ou diminuindo. Para derivar
, vamos usar a regra do quociente, que diz que se
, então:
Aqui,
e
. Vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, os pontos críticos são onde a derivada é igual a zero ou não existe. Vamos encontrar esses pontos:
- Derivada igual a zero:
Isso acontece quando o numerador é zero:
- Derivada não existe:
A derivada
não existe quando o denominador é zero:
No entanto,
faz com que a função
não esteja definida (há uma assíntota vertical), então não consideramos
como ponto crítico da função.
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos classificar cada ponto crítico usando o teste da primeira derivada. Isso envolve ver o comportamento da derivada antes e depois de cada ponto crítico para determinar se é um máximo, mínimo ou ponto ordinário.
- Para
:
-
Escolha um valor à esquerda de 0, por exemplo,
: -
Escolha um valor à direita de 0, por exemplo,
(não válido porque a função não está definida), então escolhemos :
Como a derivada muda de positiva para negativa ao passar por
, isso indica que
é um máximo relativo.
- Para
:
-
Escolha um valor à esquerda de 2, por exemplo,
: -
Escolha um valor à direita de 2, por exemplo,
:
Como a derivada muda de negativa para positiva ao passar por
, isso indica que
é um mínimo relativo.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
: Máximo relativo -
: Mínimo relativo
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se
e
são funções deriváveis e:
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Esboce o gráfico e discuta a continuidade das seguintes funções:
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