Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Passo 1
Beleza, então a gente precisa calcular a derivada da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas de funções que têm a variável no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica, que é uma técnica bem útil quando temos potências com variáveis no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação para facilitar a diferenciação. Fica assim:
Isso ajuda porque transforma a potência em um produto, o que é mais fácil de derivar.
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar o lado direito:
Isso simplifica a expressão e prepara a gente para aplicar a regra do produto na próxima etapa.
Passo 4
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, aplicamos a regra do produto, já que temos um produto de duas funções de
:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas individuais:
Substituindo de volta na equação:
Passo 6
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Queremos encontrar
, então multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta na equação:
Agora, vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses.
Passo 8
Simplificando
:
Então, a expressão completa fica:
Resposta
A derivada simplificada da função
é:
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