Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.

Passo 1

Beleza, então a gente precisa calcular a derivada da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas de funções que têm a variável no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica, que é uma técnica bem útil quando temos potências com variáveis no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da equação para facilitar a diferenciação. Fica assim:
Isso ajuda porque transforma a potência em um produto, o que é mais fácil de derivar.

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar o lado direito:
Isso simplifica a expressão e prepara a gente para aplicar a regra do produto na próxima etapa.

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, aplicamos a regra do produto, já que temos um produto de duas funções de :

Passo 5

Vamos calcular as derivadas individuais:
Substituindo de volta na equação:

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Queremos encontrar , então multiplicamos ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta na equação:
Agora, vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses.

Passo 8

Simplificando :
Então, a expressão completa fica:

Resposta

A derivada simplificada da função é:

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