Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função e simplificar a resposta. Aqui, estamos trabalhando com derivadas, mais especificamente usando as regras de derivação de produtos e funções logarítmicas. Vamos precisar aplicar a Regra do Produto e a Regra da Cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função é um produto de duas partes: e . Para derivar essa função, vamos usar a Regra do Produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos derivar cada parte separadamente:
  • Derivada de : usamos a regra do poder, que nos dá .
  • Derivada de : aqui usamos a Regra da Cadeia. A derivada de é , então aplicando a cadeia:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Produto juntando tudo:
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar o :

Resposta

A derivada simplificada da função é:

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