Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas implícitas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usando derivadas implícitas. Isso porque a equação da curva não está resolvida para de forma explícita.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :
Usando a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do produto no lado direito:

Passo 4

Agora, vamos organizar os termos para isolar . Primeiro, expanda e simplifique a expressão:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos passar todos os termos com para um lado e os demais para o outro:
Fatorando :

Passo 6

Isolando :

Passo 7

Agora, vamos substituir o ponto na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Primeiro, calcule em :
Então:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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