Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado. para o ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas implícitas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usando derivadas implícitas. Isso porque a equação da curva não está resolvida para de forma explícita.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :
Usando a regra da cadeia no lado esquerdo e a regra do produto no lado direito:
Passo 4
Agora, vamos organizar os termos para isolar . Primeiro, expanda e simplifique a expressão:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos passar todos os termos com para um lado e os demais para o outro:
Fatorando :
Passo 6
Isolando :
Passo 7
Agora, vamos substituir o ponto na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente: