A reta normal à curva no ponto é a reta perpendicular à tangente no ponto . Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a curva e precisa encontrar a equação da reta normal a essa curva no ponto . Isso entra na área de cálculo, especificamente nas derivadas, que vão nos ajudar a achar a inclinação da tangente e, a partir dela, a da normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada, , nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da tangente no ponto :
Então, a inclinação da tangente é 3.

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente, e para retas perpendiculares, as inclinações multiplicadas dão -1. Ou seja, se a inclinação da tangente é , a inclinação da normal será .
Então,

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo e o ponto :
Isolando :

Resposta

A equação da reta normal à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, determine a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
para o ponto
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
A reta normal à curva no ponto é a reta perpendicular à tangente no ponto . Escreva a equação da reta normal à curva dada no ponto especificado.
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.