Calcule a derivada da função dada.
y = ln(x + raiz(x^2 + 1))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar conceitos de derivadas, especificamente a regra da cadeia e as derivadas de funções logarítmicas e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos derivando. Temos , onde . Para derivar em relação a , precisamos usar a regra da cadeia, que basicamente nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

A regra da cadeia diz que se , então a derivada de em relação a é:
Então, vamos primeiro encontrar .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a . A derivada de é 1. Para a parte da raiz, usamos a regra da cadeia novamente:
Então, .

Passo 5

Agora que temos , vamos substituir de volta na expressão da derivada de :

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, combinamos os termos no numerador:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Observamos que aparece no numerador e no denominador. Então, podemos simplificar:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada da função dada.
f(x) = (x^3 - 3x^2 + 1)^-3
Determine o trabalho realizado pelo campo F(x, y) = (x, x^3 + 3xy^2) sobre uma particula que está inicialmente no ponto (0, -2) e se move ao longo do eixo x para o ponto ( 0,2 e e entāo ao longo da semicircunferència y = raiz(4 - x^2) até o ponto inicial. \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1
Determine a equação da reta tangente em (x0, f(x0)) sendo dados
f(x) = x^3 e x0 = 2
r(u, v)=(u cos (v), u sen(v), 3+u^2)
para 0 <= u <= 3,0 <= v <= 2 pi.
a) Descreva as curvas obtidas fazendo u=raiz3 e v=pi2, respectivamente;
b) Determine partial rpartial u(raiz3, pi2) e partial rpartial v(raiz3, pi2), representando-os geometricamente.