r(u, v)=(u cos (v), u sen(v), 3+u^2)
para 0 <= u <= 3,0 <= v <= 2 pi.
a) Descreva as curvas obtidas fazendo u=raiz3 e v=pi2, respectivamente;
b) Determine partial rpartial u(raiz3, pi2) e partial rpartial v(raiz3, pi2), representando-os geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve cálculo vetorial, especificamente parametrizações de superfícies e derivadas parciais. Precisaremos entender como descrever curvas específicas na superfície dada pela função vetorial r(u, v) e calcular as derivadas parciais para entender melhor a geometria local dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte (a) do exercício. Temos que descrever duas curvas: uma quando u = raiz3 e outra quando v = pi2. Vamos começar com u = raiz3.

Passo 3

Quando fixamos u = raiz3, a função vetorial fica:
r(raiz3, v) = (raiz3 cos(v), raiz3 sin(v), 3 + (raiz3)^2)
Simplificando:
r(raiz3, v) = (raiz3 cos(v), raiz3 sin(v), 6)
Isso representa um círculo no plano z = 6 com raio raiz3.

Passo 4

Agora, vamos considerar v = pi2. A função vetorial se torna:
r(u, pi2) = (u cos(pi2), u sin(pi2), 3 + u^2)
Sabemos que cos(pi2) = 0 e sin(pi2) = 1, então:
r(u, pi2) = (0, u, 3 + u^2)
Essa é uma parábola no plano y- z.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Precisamos calcular as derivadas parciais de r em relação a u e v no ponto (raiz3, pi2).
Primeiro, a derivada parcial em relação a u:
partial rpartial u = (cos(v), sin(v), 2u)
Avaliando em (raiz3, pi2):
partial rpartial u(raiz3, pi2) = (cos(pi2), sin(pi2), 2raiz3) = (0, 1, 2raiz3)

Passo 6

Agora, a derivada parcial em relação a v:
partial rpartial v = (-u sin(v), u cos(v), 0)
Avaliando em (raiz3, pi2):
partial rpartial v(raiz3, pi2) = (-raiz3 sin(pi2), raiz3 cos(pi2), 0) = (-raiz3, 0, 0)

Passo 7

Geometricamente, essas derivadas parciais representam os vetores tangentes à superfície nas direções de u e v no ponto dado. O vetor partial rpartial u aponta na direção em que u aumenta mantendo v constante, e partial rpartial v aponta na direção em que v aumenta mantendo u constante.

Resposta

a) As curvas são:
  • Para u = raiz3: um círculo no plano z = 6 com raio raiz3.
  • Para v = pi2: uma parábola no plano y- z dada por r(u, pi2) = (0, u, 3 + u^2).
b) As derivadas parciais no ponto (raiz3, pi2) são:
partial rpartial u(raiz3, pi2) = (0, 1, 2raiz3)
partial rpartial v(raiz3, pi2) = (-raiz3, 0, 0)
Geométrica mente, esses vetores representam as direções tangentes à superfície nas direções de u e v no ponto considerado.

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