para
.
a) Descreva as curvas obtidas fazendo
e
, respectivamente;
b) Determine
, representando-os geometricamente.
a) Descreva as curvas obtidas fazendo
b) Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve cálculo vetorial, especificamente parametrizações de superfícies e derivadas parciais. Precisaremos entender como descrever curvas específicas na superfície dada pela função vetorial
e calcular as derivadas parciais para entender melhor a geometria local dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte (a) do exercício. Temos que descrever duas curvas: uma quando
e outra quando
. Vamos começar com
.
Passo 3
Quando fixamos
, a função vetorial fica:
Simplificando:
Isso representa um círculo no plano
com raio
.
Passo 4
Agora, vamos considerar
. A função vetorial se torna:
Sabemos que
e
, então:
Essa é uma parábola no plano
-
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Avaliando em
:
Passo 6
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Avaliando em
:
Passo 7
Geometricamente, essas derivadas parciais representam os vetores tangentes à superfície nas direções de
e
no ponto dado. O vetor
aponta na direção em que
aumenta mantendo
constante, e
aponta na direção em que
aumenta mantendo
constante.
Resposta
a) As curvas são:
- Para
: um círculo no plano com raio . - Para
: uma parábola no plano - dada por .
b) As derivadas parciais no ponto
são:
Geométrica mente, esses vetores representam as direções tangentes à superfície nas direções de
e
no ponto considerado.
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Determine a equação da reta tangente em
sendo dados
e
Calcule a derivada da função dada.
Seja
é derivável em
? Em caso afirmativo, calcule
.
Calcule a derivada das seguintes funções.