Calcule a derivada da função F(x)=integralraizx^2 x arctan t d t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Esse problema está relacionado ao cálculo de derivadas e integrais, especificamente utilizando a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. Para resolver, precisaremos aplicar essa regra para encontrar a derivada de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra de Leibniz, que nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , ou seja, , então a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que precisamos identificar as funções e , além de , na nossa função .

Passo 3

No nosso caso, temos:
f(t) = arctan t
a(x) = raizx e b(x) = 2x
Agora, vamos calcular as derivadas de a'(x) = ddx raizx = 12raizx e b'(x) = ddx 2x = 2 em relação a F'(x) = arctan(2x) cdot 2 - arctan(raizx) cdot 12raizx :
Aplicando a Regra de Leibniz:

Resposta

F'(x) = 2, arctan(2x) - arctan(raizx)2, raizx

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