Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que fica entre as curvas
e
, e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a integração, que ajuda a encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que temos. A curva
é uma parábola aberta para a direita, e
é uma linha reta. Precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 4
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, vamos trazer tudo para um lado da equação para resolver a equação quadrática.
Passo 5
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver por fatoração.
Passo 6
Fatorando a equação quadrática:
Portanto, as soluções são
e
.
Passo 7
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os respectivos valores de
substituindo na equação
:
- Para
: - Para
:
Então, os pontos de interseção sãoe .
Passo 8
Com os pontos de interseção, podemos agora determinar os limites de integração, que vão de
a
. Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as funções de cima e de baixo.
Passo 9
Antes disso, precisamos saber qual função está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 10
Agora, vamos montar a integral para calcular a área
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 11
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
e quando
,
; quando
,
. A integral fica:
Passo 12
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa é:
Passo 13
Agora, substituímos os limites de integração:
Passo 14
Vamos calcular a diferença:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
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; em torno do eixo
.