Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que fica entre as curvas e , e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a integração, que ajuda a encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que temos. A curva é uma parábola aberta para a direita, e é uma linha reta. Precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para .

Passo 4

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Agora, vamos trazer tudo para um lado da equação para resolver a equação quadrática.

Passo 5

Subtraindo de ambos os lados:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver por fatoração.

Passo 6

Fatorando a equação quadrática:
Portanto, as soluções são e .

Passo 7

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os respectivos valores de substituindo na equação :
  • Para :
  • Para :
    Então, os pontos de interseção são e .

Passo 8

Com os pontos de interseção, podemos agora determinar os limites de integração, que vão de a . Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre as funções de cima e de baixo.

Passo 9

Antes disso, precisamos saber qual função está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 10

Agora, vamos montar a integral para calcular a área :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 11

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então e quando , ; quando , . A integral fica:

Passo 12

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa é:

Passo 13

Agora, substituímos os limites de integração:

Passo 14

Vamos calcular a diferença:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais
Resolva as integrais usando a substituição de variável:
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo .