Resolva as integrais usando a substituição de variável: integral cot (exp (x)) exp (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que resolver a integral de cot (exp (x)) exp (x) , dx. Aqui, estamos lidando com integração por substituição de variável, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas transformando uma parte da integral em uma nova variável. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da expressão que possamos substituir por uma nova variável para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que possa simplificar a integral. Observando cot (exp (x)) exp (x), notamos que a função dentro do cosseno é exp(x), e sua derivada é exp(x), que já está presente na integral. Isso é uma pista de que podemos fazer uma boa substituição. Vamos definir:
u = exp(x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du, que é a derivada de u em relação a x. Derivando u = exp(x), temos:
du = exp(x) , dx
Isso é ótimo porque exp(x) , dx aparece exatamente na nossa integral original. Então, podemos substituir exp(x) , dx por du.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, ficamos com:
integral cot(u) , du
Agora, nossa integral ficou mais simples: precisamos integrar cot(u) em relação a u.

Passo 5

Sabemos que a integral de cot(u) é ln|sin(u)| mais uma constante de integração. Então, integrando, obtemos:
ln|sin(u)| + C
Lembre-se que C é a constante de integração que sempre adicionamos em integrais indefinidas.

Passo 6

Finalmente, vamos voltar à variável original x substituindo u = exp(x):
ln|sin(exp(x))| + C

Resposta

A integral é igual a ln|sin(exp(x))| + C, onde C é a constante de integração.

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