Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza! Então, a gente vai resolver um exercício de cálculo envolvendo o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação de uma região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método e configurar a integral apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o gráfico das curvas
e
. A curva
é simplesmente o eixo
. A interseção entre as duas curvas ocorre quando
. Vamos resolver isso:
Então,
ou
. Portanto, a região que vamos girar está entre
e
.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, a ideia é dividir a região em finas “cascas” ou cilindros verticais e somar seus volumes. A fórmula para o volume usando esse método quando rotacionamos em torno do eixo
é:
Aqui,
é a distância do elemento à esquerda do eixo de rotação (no caso, o eixo
), e
é a altura da casca.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso,
,
e
. Então, a integral fica:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral agora é:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, o volume é:
Passo 6
Vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 2:
Para
:
Para
:
Então, a expressão fica:
Resposta
O volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
, onde
é a circunferência
, usando o Teorema de Green, para
e
.
Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
em torno do eixo
Resolva as integrais usando a substituição de variável: