Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
em torno do eixo .

Passo 1

Beleza! Então, a gente vai resolver um exercício de cálculo envolvendo o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação de uma região delimitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse método e configurar a integral apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o gráfico das curvas e . A curva é simplesmente o eixo . A interseção entre as duas curvas ocorre quando . Vamos resolver isso:
Então, ou . Portanto, a região que vamos girar está entre e .

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, a ideia é dividir a região em finas “cascas” ou cilindros verticais e somar seus volumes. A fórmula para o volume usando esse método quando rotacionamos em torno do eixo é:
Aqui, é a distância do elemento à esquerda do eixo de rotação (no caso, o eixo ), e é a altura da casca.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, , e . Então, a integral fica:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral agora é:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, o volume é:

Passo 6

Vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 2:
Para :
Para :
Então, a expressão fica:

Resposta

O volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno do eixo é unidades cúbicas.

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em torno do eixo
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