Calcule a derivada da função f(x)=integralx^2^cos x raiz1+t^2 d t
(1 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve cálculo de derivadas e integrais, mais especificamente a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. Vamos precisar entender como diferenciar uma integral quando os limites de integração dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra de Leibniz. Se você tem uma função definida por uma integral com limites que são funções de f'(x) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x) , ou seja, , a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que a derivada depende do valor da função integranda nos limites superior e inferior, multiplicado pelas derivadas desses limites.

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso exercício, identificamos:
  • e sua derivada
  • e sua derivada

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da Regra de Leibniz:
f'(x) = raiz1 + (cos x)^2 cdot (-sin x) - raiz1 + (x^2)^2 cdot (2x)
Simplificando:
f'(x) = -sin x cdot raiz1 + cos^2x - 2x cdot raiz1 + x^4

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -sin x cdot raiz1 + cos^2x - 2x cdot raiz1 + x^4

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