O valor de integral1^3 x^2-4 x+3x(x+1)^2 d x é
( ) 3 ln 3-2 ln 2-2
( ) 6 ln 2+2 ln 3-1
( ) 4 ln 2+ln 3+12
( ) 5 ln 2-3 ln 5+3
( ) ln 2+2 ln 5-12

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar fatorar a expressão e talvez usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) . Procuramos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral1^3 (x - 1)(x - 3)x(x+1)^2 , dx
Vamos simplificar essa fração. Dividindo os termos:
(x - 1)(x - 3)x(x+1)^2 = x^2 - 4x + 3x(x+1)^2
Podemos tentar decompor essa fração em frações parciais.

Passo 4

A decomposição em frações parciais para uma expressão como Ax + Bx+1 + C(x+1)^2 , onde o grau de x^2 - 4x + 3x(x+1)^2 = Ax + Bx+1 + C(x+1)^2 é menor que o de , é do tipo:
Então, temos:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por x^2 - 4x + 3 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx para eliminar os denominadores:
x^2 - 4x + 3 = A(x^2 + 2x + 1) + Bx^2 + Bx + Cx
Vamos expandir e simplificar:
x^2 - 4x + 3 = (A + B)x^2 + (2A + B + C)x + A

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de A + B = 1 :
Para 2A + B + C = -4 :
A = 3
Para :
Para o termo constante:

Passo 7

Já sabemos que 3 + B = 1 implies B = -2 . Substituindo na primeira equação:
2(3) + (-2) + C = -4 implies 6 - 2 + C = -4 implies C = -8
Agora, substituímos e na segunda equação:

Passo 8

Agora, nossa decomposição é:
3x + -2x+1 + -8(x+1)^2
Então, a integral fica:
integral1^3 ( 3x - 2x+1 - 8(x+1)^2 ) , dx

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
integral 3x , dx = 3 ln|x|
integral -2x+1 , dx = -2 ln|x+1|
integral -8(x+1)^2 , dx = 8x+1

Passo 10

Então, avaliando de 1 a 3:
[ 3 ln x - 2 ln (x+1) + 8x+1 ]1^3
Substituindo 3:
3 ln 3 - 2 ln 4 + 84 = 3 ln 3 - 2 ln 4 + 2
Substituindo 1:
3 ln 1 - 2 ln 2 + 82 = 0 - 2 ln 2 + 4

Passo 11

Calculando a diferença:
(3 ln 3 - 2 ln 4 + 2) - (-2 ln 2 + 4) = 3 ln 3 - 2 ln 4 + 2 + 2 ln 2 - 4
Simplificando:
3 ln 3 - 2 ln (4) + 2 ln 2 - 2
Como 3 ln 3 - 4 ln 2 + 2 ln 2 - 2 = 3 ln 3 - 2 ln 2 - 2 , então :

Resposta

A resposta correta é .

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