Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação de recorrência de segunda ordem: . Esse tipo de equação faz parte do conteúdo de equações de diferença lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, usamos a equação característica.

Passo 3

A equação característica é formada substituindo por , resultando em:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação , encontramos as raízes:
Essas raízes são distintas.

Passo 5

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas com condições iniciais, se tivermos.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . O lado direito é um polinômio de primeiro grau, então vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 7

Vamos substituir na equação original:
Calculando cada termo:
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:

Passo 9

Agora que encontramos e , a solução particular é:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação de diferença é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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