Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa equação de recorrência de segunda ordem:
. Esse tipo de equação faz parte do conteúdo de equações de diferença lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, usamos a equação característica.
Passo 3
A equação característica é formada substituindo
por
, resultando em:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação
, encontramos as raízes:
Essas raízes são distintas.
Passo 5
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas com condições iniciais, se tivermos.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. O lado direito é um polinômio de primeiro grau, então vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 7
Vamos substituir
na equação original:
Calculando cada termo:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Passo 9
Agora que encontramos
e
, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação de diferença é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função
(1 ponto)
(1 ponto)
O valor de
é
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Calcule a integral
(2 pontos)
(2 pontos)
Calcule o volume gerado pelà rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
.
(2 pontos)
(2 pontos)