Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique
,
Passo 1
Vamos resolver o limite apresentado:
Esse exercício está relacionado ao estudo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, precisamos analisar se o limite existe quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para verificar se o valor do limite é o mesmo em todos eles. Se encontrarmos caminhos que resultam em limites diferentes, concluímos que o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar por considerar o caminho onde
. Substituindo
por
na expressão, temos:
À medida que
se aproxima de
, o valor de
também se aproxima de
. Portanto, o limite ao longo desse caminho é
.
Passo 4
Agora, consideremos um caminho mais geral onde
, sendo
uma constante qualquer. Substituímos
por
na expressão:
À medida que
se aproxima de
, o limite se torna:
Esse valor depende do valor de
, ou seja, do caminho escolhido para nos aproximarmos de
.
Resposta
Como obtivemos limites diferentes para caminhos diferentes (dependendo de
), concluímos que o limite não existe.