Calcule os seguintes limites, caso existam. Caso não existam, justifique
lim (x, y) (0,0) x^3-2 x yx^2+y^2,

Passo 1

Vamos resolver o limite apresentado:
lim(x, y) (0,0) x^3-2 x yx^2+y^2
Esse exercício está relacionado ao estudo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, precisamos analisar se o limite existe quando nos aproximamos do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para verificar se o valor do limite é o mesmo em todos eles. Se encontrarmos caminhos que resultam em limites diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar por considerar o caminho onde y = 0. Substituindo y por 0 na expressão, temos:
x^3 - 2x cdot 0x^2 + 0^2 = x^3x^2 = x
À medida que x se aproxima de 0, o valor de x também se aproxima de 0. Portanto, o limite ao longo desse caminho é 0.

Passo 4

Agora, consideremos um caminho mais geral onde y = kx, sendo k uma constante qualquer. Substituímos y por kx na expressão:
x^3 - 2x cdot kxx^2 + (kx)^2 = x^3 - 2k x^2x^2(1 + k^2) = x - 2k1 + k^2
À medida que x se aproxima de 0, o limite se torna:
limx 0 x - 2k1 + k^2 = 0 - 2k1 + k^2 = -2k1 + k^2
Esse valor depende do valor de k, ou seja, do caminho escolhido para nos aproximarmos de (0,0).

Resposta

Como obtivemos limites diferentes para caminhos diferentes (dependendo de k), concluímos que o limite não existe.

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