Calcule a integral integral1^c ln xx(1+(ln x)^2) d x
(2 pontos)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente a técnica de substituição. Vamos precisar usar a substituição para simplificar a integral e encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos deixar . Agora, precisamos encontrar o diferencial .
Sabemos que , o que significa que .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral usando a substituição:
integral1^c ln xx(1+(ln x)^2) dx = integralu=0^u=ln c u1 + u^2 du
Aqui, substituímos os limites de integração: quando , e quando , .

Passo 4

Agora, vamos integrar integral u1 + u^2 du = 12 ln(1 + u^2) + C . Para isso, reconhecemos que a derivada de é . Então, podemos reescrever:

Resposta

Portanto, a integral calculada de 12 ln(1 + (ln c)^2) até é:

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