Calcule a derivada da função
em todos os pontos possíveis. Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
que é definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de
:
- Para
, a função é . - Para
, a função é constante, ou seja, .
Vamos usar o conteúdo de cálculo de derivadas, especialmente derivadas de funções polinomiais e constantes, além de verificar a derivabilidade no ponto onde a definição da função muda, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
quando
. A função nessa região é
.
Para derivar, aplicamos as regras básicas de derivação:
- A derivada de
é . - A derivada de uma constante multiplicada por
é a constante. - A derivada de uma constante é zero.
Então, derivando termo a termo:
Portanto, para
, a derivada é
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
quando
. Nesse caso, a função é constante:
.
A derivada de uma constante é sempre zero. Então:
Portanto, para
, a derivada é
.
Passo 4
Até aqui, temos as derivadas para as duas partes da função. Mas precisamos verificar o que acontece exatamente em
, onde a definição da função muda. Isso é importante porque podemos ter uma descontinuidade na derivada nesse ponto.
Para o derivado existir em
, as derivadas pela direita e pela esquerda desse ponto devem ser iguais.
Vamos calcular:
- Derivada pela direita (
): - Derivada pela esquerda (
):
Como
, a derivada em
não existe.
Resposta
A derivada de
é dada por:
Não existe a derivada em
.
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Seja
uma função diferenciável e
. Use a definição de derivada para mostrar que
.
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.
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Seja
, onde
é uma função derivável. Se
e
, determine
.
Considere a função
.
Esboce o gráfico de .
Esboce o gráfico de