Calcule a derivada da função em todos os pontos possíveis. Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função que é definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de :
  • Para , a função é .
  • Para , a função é constante, ou seja, .
Vamos usar o conteúdo de cálculo de derivadas, especialmente derivadas de funções polinomiais e constantes, além de verificar a derivabilidade no ponto onde a definição da função muda, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de quando . A função nessa região é .
Para derivar, aplicamos as regras básicas de derivação:
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante multiplicada por é a constante.
  • A derivada de uma constante é zero.
Então, derivando termo a termo:
Portanto, para , a derivada é .

Passo 3

Agora, vamos derivar quando . Nesse caso, a função é constante: .
A derivada de uma constante é sempre zero. Então:
Portanto, para , a derivada é .

Passo 4

Até aqui, temos as derivadas para as duas partes da função. Mas precisamos verificar o que acontece exatamente em , onde a definição da função muda. Isso é importante porque podemos ter uma descontinuidade na derivada nesse ponto.
Para o derivado existir em , as derivadas pela direita e pela esquerda desse ponto devem ser iguais.
Vamos calcular:
  • Derivada pela direita ( ):
  • Derivada pela esquerda ( ):
Como , a derivada em não existe.

Resposta

A derivada de é dada por:
Não existe a derivada em .

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