Seja f uma função diferenciável e g(x) = x f(x). Use a definição de derivada para mostrar que g'(x) = f(x) + x f'(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função que é diferenciável e outra função definida por . Nosso objetivo é usar a definição de derivada para mostrar que a derivada de , ou seja, , é igual a . Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada e aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada de uma função em um ponto :
Essa definição nos diz como calcular a taxa de variação de em usando incrementos pequenos .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, calculamos :
Isso significa que substituímos por na função .

Passo 4

Substituímos e na fórmula da derivada:
Agora, temos que simplificar essa expressão para encontrar .

Passo 5

Vamos distribuir o no numerador:
Aqui, separei os termos para facilitar a simplificação.

Passo 6

Agora, vamos reorganizar os termos para separar os que contêm :
Dividimos o numerador em duas frações para simplificar.

Passo 7

Simplificamos cada termo:
Aqui, cancelamos o no segundo termo.

Passo 8

Sabemos que:
E também que:
Isso porque é diferenciável, então ela é contínua.

Passo 9

Substituindo esses limites na expressão anterior:

Resposta

Portanto, a derivada de é:

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