Seja
uma função diferenciável e
. Use a definição de derivada para mostrar que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função
que é diferenciável e outra função definida por
. Nosso objetivo é usar a definição de derivada para mostrar que a derivada de
, ou seja,
, é igual a
. Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada e aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada de uma função
em um ponto
:
Essa definição nos diz como calcular a taxa de variação de
em
usando incrementos pequenos
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, calculamos
:
Isso significa que substituímos
por
na função
.
Passo 4
Substituímos
e
na fórmula da derivada:
Agora, temos que simplificar essa expressão para encontrar
.
Passo 5
Vamos distribuir o
no numerador:
Aqui, separei os termos para facilitar a simplificação.
Passo 6
Agora, vamos reorganizar os termos para separar os que contêm
:
Dividimos o numerador em duas frações para simplificar.
Passo 7
Simplificamos cada termo:
Aqui, cancelamos o
no segundo termo.
Passo 8
Sabemos que:
E também que:
Isso porque
é diferenciável, então ela é contínua.
Passo 9
Substituindo esses limites na expressão anterior:
Resposta
Portanto, a derivada de
é:
Exercícios relacionados
Considere a função
.
Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!
Estude a concavidade de
Considere a função
.
Determine o domínio de .
Determine o domínio de
Calcule a derivada da função
em todos os pontos possíveis. Justifique!
Seja
, onde
é uma função derivável. Se
e
, determine
.