Considere a função
.
Esboce o gráfico de
.
Esboce o gráfico de
Passo 1
Vamos esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de função, como domínio, interceptações, assíntotas e comportamento da função em diferentes intervalos. Também vamos usar a derivada para encontrar pontos de máximo e mínimo.
Passo 2
Dominio da função:
Primeiro, precisamos saber para quais valores de a função está definida. Olhando para
, vemos que o denominador
nunca é zero, já que
é sempre positivo ou zero. Portanto, o domínio é todos os números reais:
Primeiro, precisamos saber para quais valores de
Passo 3
Interseção com o eixo y:
Para encontrar onde a função cruza o eixo y, substituímos :
Para encontrar onde a função cruza o eixo y, substituímos
Então, a interseção com o eixo y é no ponto
.
Interseções com o eixo x:
Para encontrar onde a função cruza o eixo x, resolvemos :
Para encontrar onde a função cruza o eixo x, resolvemos
Calculando o discriminante:
Como
, não há interseção com o eixo x.
Passo 4
Assíntotas:
Vamos verificar se a função tem assíntotas horizontais ou verticais.
Vamos verificar se a função tem assíntotas horizontais ou verticais.
Assíntotas verticais:
Não há, pois o denominador nunca é zero.
Não há, pois o denominador
Assíntotas horizontais:
Analisamos o limite de quando
tende a
e
:
Analisamos o limite de
Então, a função tem uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Comportamento da função:
Sabemos que a função se aproxima de quando
vai para
ou
. Também sabemos que a função passa por
e não cruza o eixo x.
Sabemos que a função se aproxima de
Passo 6
Derivada para encontrar pontos críticos:
Vamos calcular a derivada de para encontrar onde a função tem máximos ou mínimos.
Vamos calcular a derivada de
Usando a regra do quociente:
Pontos críticos:
Resolvemos :
Resolvemos
Classificando os pontos:
- Para
:
- Para
:
Calculando os valores:
Então, temos um máximo em
e um mínimo em
.
Passo 7
Esboçando o gráfico:
Com todas as informações:
Com todas as informações:
- A função tem uma assíntota horizontal em
. - Passa pelo ponto
. - Tem um máximo em
e um mínimo em . - Não cruza o eixo x.
O gráfico será uma curva que sobe até
, desce passando por
, atinge o mínimo em
e se aproxima da linha
em ambas as direções de
.
Resposta
O esboço do gráfico de
possui uma assíntota horizontal em
, passa pelo ponto
, atinge um máximo em
e um mínimo em
, sem cruzar o eixo x. A curva se aproxima da linha
conforme
tende a
ou
.
Exercícios relacionados
Seja
, onde
é uma função derivável. Se
e
, determine
.
Calcule a derivada da função
em todos os pontos possíveis. Justifique!
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados:
Determine a derivada
de cada função
dada a seguir, utilizando a definição de derivada: