Considere a função .
Esboce o gráfico de .

Passo 1

Vamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos precisar entender conceitos de função, como domínio, interceptações, assíntotas e comportamento da função em diferentes intervalos. Também vamos usar a derivada para encontrar pontos de máximo e mínimo.

Passo 2

Dominio da função:
Primeiro, precisamos saber para quais valores de a função está definida. Olhando para , vemos que o denominador nunca é zero, já que é sempre positivo ou zero. Portanto, o domínio é todos os números reais:

Passo 3

Interseção com o eixo y:
Para encontrar onde a função cruza o eixo y, substituímos :
Então, a interseção com o eixo y é no ponto .
Interseções com o eixo x:
Para encontrar onde a função cruza o eixo x, resolvemos :
Calculando o discriminante:
Como , não há interseção com o eixo x.

Passo 4

Assíntotas:
Vamos verificar se a função tem assíntotas horizontais ou verticais.
Assíntotas verticais:
Não há, pois o denominador nunca é zero.
Assíntotas horizontais:
Analisamos o limite de quando tende a e :
Então, a função tem uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Comportamento da função:
Sabemos que a função se aproxima de quando vai para ou . Também sabemos que a função passa por e não cruza o eixo x.

Passo 6

Derivada para encontrar pontos críticos:
Vamos calcular a derivada de para encontrar onde a função tem máximos ou mínimos.
Usando a regra do quociente:
Pontos críticos:
Resolvemos :
Classificando os pontos:
  • Para :
(confirma que é um ponto de máximo)
  • Para :
(confirma que é um ponto de mínimo)
Calculando os valores:
Então, temos um máximo em e um mínimo em .

Passo 7

Esboçando o gráfico:
Com todas as informações:
  • A função tem uma assíntota horizontal em .
  • Passa pelo ponto .
  • Tem um máximo em e um mínimo em .
  • Não cruza o eixo x.
O gráfico será uma curva que sobe até , desce passando por , atinge o mínimo em e se aproxima da linha em ambas as direções de .

Resposta

O esboço do gráfico de possui uma assíntota horizontal em , passa pelo ponto , atinge um máximo em e um mínimo em , sem cruzar o eixo x. A curva se aproxima da linha conforme tende a ou .

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