Seja
, onde
é uma função derivável. Se
e
, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a derivada da função
no ponto
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação como a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas das funções tangente, exponencial e arctangente, além de aplicar a derivada de uma soma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas dessas funções. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada separadamente.
Passo 3
Vamos derivar
. Usamos a regra da cadeia:
Aqui,
, então:
Agora, derivamos
usando mais a regra da cadeia:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Novamente, usamos a regra da cadeia:
Aqui,
, então:
Passo 5
Agora, juntamos tudo:
Queremos
. Sabemos que
e
. Substituímos esses valores:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função
em todos os pontos possíveis. Justifique!
Seja
uma função diferenciável e
. Use a definição de derivada para mostrar que
.
Considere a função
.
Esboce o gráfico de .
Esboce o gráfico de
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados: