Seja , onde é uma função derivável. Se e , determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a derivada da função no ponto . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação como a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas das funções tangente, exponencial e arctangente, além de aplicar a derivada de uma soma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas dessas funções. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada separadamente.

Passo 3

Vamos derivar . Usamos a regra da cadeia:
Aqui, , então:
Agora, derivamos usando mais a regra da cadeia:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Novamente, usamos a regra da cadeia:
Aqui, , então:

Passo 5

Agora, juntamos tudo:
Queremos . Sabemos que e . Substituímos esses valores:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule a derivada da função em todos os pontos possíveis. Justifique!
Seja uma função diferenciável e . Use a definição de derivada para mostrar que .
Considere a função .
Esboce o gráfico de .
Determine , a derivada da função em , em cada item abaixo e nos pontos indicados: