Seja f(x) = tg(e^(g(x))) + arctg(g(x)), onde g(x) é uma função derivável. Se g(0) = 1 e g'(0) = 0, determine f'(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a derivada da função no ponto . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação como a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas das funções tangente, exponencial e arctangente, além de aplicar a derivada de uma soma.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas dessas funções. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada separadamente.

Passo 3

Vamos derivar . Usamos a regra da cadeia:
Aqui, , então:
Agora, derivamos usando mais a regra da cadeia:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos derivar . Novamente, usamos a regra da cadeia:
Aqui, , então:

Passo 5

Agora, juntamos tudo:
Queremos . Sabemos que e . Substituímos esses valores:

Resposta

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