Considere a função
.
Estude a concavidade de
. Existem pontos de inflexão? Justifique!
Estude a concavidade de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar a concavidade da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente do estudo das derivadas e concavidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa para determinar a concavidade e identificar possíveis pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A primeira derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, mas também é o ponto de partida para calcular a concavidade.
A função é:
Vamos derivar termo a termo. A derivada de uma constante, como o 2, é zero. Agora, precisamos derivar
. Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é:
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Aplicando na regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
, que nos ajudará a determinar a concavidade. Para isso, vamos derivar
.
Temos:
Vamos usar novamente a regra do quociente para derivar essa expressão. Desta vez,
e
.
Calculando as derivadas:
Aplicando na regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Portanto:
Podemos fatorar um
do numerador:
Ou rearranjando:
Passo 4
Agora que temos a segunda derivada, vamos analisar onde ela é positiva ou negativa para determinar a concavidade da função.
A concavidade da função depende do sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos analisar o sinal de
:
O denominador
é sempre positivo, já que está elevado a uma potência par e
nunca é negativo.
Então, o sinal de
depende apenas do numerador:
Vamos analisar cada fator:
-
: - Positivo quando
. - Negativo quando
.
- Positivo quando
-
: - Vamos resolver a equação
para encontrar os pontos críticos.
- Vamos resolver a equação
Passo 5
Vamos resolver
.
Podemos fazer uma substituição: seja
, então a equação fica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
.
Como
e
não pode ser negativo, descartamos
.
Portanto,
, ou seja,
e
.
Agora, vamos analisar o sinal de
:
-
Para
, por exemplo, : (negativo) -
Para
, por exemplo, : (positivo)
Então,
é negativo entre
e
, e positivo fora desse intervalo.
Agora, juntando com o fator
:
-
Para
: -
é negativo. -
é positivo. - Produto: negativo.
-
-
Para
: -
é negativo. -
é negativo. - Produto: positivo.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é negativo. - Produto: negativo.
-
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. - Produto: positivo.
-
Resumindo:
-
quando e → Concavidade para cima. -
quando e → Concavidade para baixo.
Resposta
A função
é côncava para baixo quando
e
, e côncava para cima quando
e
. Existem pontos de inflexão nos pontos
,
e
, onde ocorre a mudança na concavidade da função.
Exercícios relacionados
Considere a função
.
Determine o domínio de .
Determine o domínio de
Calcule
.
Seja
uma função diferenciável e
. Use a definição de derivada para mostrar que
.
Calcule a derivada da função
em todos os pontos possíveis. Justifique!