Considere a função .
Estude a concavidade de . Existem pontos de inflexão? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar a concavidade da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente do estudo das derivadas e concavidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a segunda derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa para determinar a concavidade e identificar possíveis pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A primeira derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, mas também é o ponto de partida para calcular a concavidade.
A função é:
Vamos derivar termo a termo. A derivada de uma constante, como o 2, é zero. Agora, precisamos derivar . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é:
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Aplicando na regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada , que nos ajudará a determinar a concavidade. Para isso, vamos derivar .
Temos:
Vamos usar novamente a regra do quociente para derivar essa expressão. Desta vez, e .
Calculando as derivadas:
Aplicando na regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Portanto:
Podemos fatorar um do numerador:
Ou rearranjando:

Passo 4

Agora que temos a segunda derivada, vamos analisar onde ela é positiva ou negativa para determinar a concavidade da função.
A concavidade da função depende do sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Vamos analisar o sinal de :
O denominador é sempre positivo, já que está elevado a uma potência par e nunca é negativo.
Então, o sinal de depende apenas do numerador:
Vamos analisar cada fator:
  1. :
    • Positivo quando .
    • Negativo quando .
  2. :
    • Vamos resolver a equação para encontrar os pontos críticos.

Passo 5

Vamos resolver .
Podemos fazer uma substituição: seja , então a equação fica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .
Como e não pode ser negativo, descartamos .
Portanto, , ou seja, e .
Agora, vamos analisar o sinal de :
  • Para , por exemplo, :
    (negativo)
  • Para , por exemplo, :
    (positivo)
Então, é negativo entre e , e positivo fora desse intervalo.
Agora, juntando com o fator :
  • Para :
    • é negativo.
    • é positivo.
    • Produto: negativo.
  • Para :
    • é negativo.
    • é negativo.
    • Produto: positivo.
  • Para :
    • é positivo.
    • é negativo.
    • Produto: negativo.
  • Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • Produto: positivo.
Resumindo:
  • quando e → Concavidade para cima.
  • quando e → Concavidade para baixo.

Resposta

A função é côncava para baixo quando e , e côncava para cima quando e . Existem pontos de inflexão nos pontos , e , onde ocorre a mudança na concavidade da função.

Exercícios relacionados

Considere a função .
Determine o domínio de .
Calcule .
Seja uma função diferenciável e . Use a definição de derivada para mostrar que .
Calcule a derivada da função em todos os pontos possíveis. Justifique!