Calcule a derivada da função: f(x) = (ln(x + e^x))^9.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui estamos lidando com derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. Vamos precisar identificar as funções internas e externas para aplicar essa regra direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função. Temos uma função composta onde a parte externa é algo elevado à nona potência e a parte interna é o logaritmo natural . Ou seja, podemos pensar em e então .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é . No nosso caso, , então a derivada de em relação a é .

Passo 4

Em seguida, precisamos derivar a função interna . A derivada do logaritmo natural é , onde .

Passo 5

Agora, vamos derivar . A derivada de é 1 e a derivada de é . Então, .

Passo 6

Agora, juntando tudo, a derivada de é . Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de é . Substituindo de volta, temos:

Resposta

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