Determine o valor médio de cada função f abaixo nos intervalos indicados e o valor de x em que isso ocorre: f(x) = sen^2(x) em [0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor médio da função no intervalo de e também descobrir em qual valor de isso ocorre. Para isso, vamos usar o conceito de valor médio de uma função, que envolve calcular uma integral. Então, vamos precisar saber como calcular integrais de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio de uma função em um intervalo . A fórmula é:
é
Aqui, e . Então, vamos aplicar essa fórmula para a nossa função .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de de a . Para facilitar, vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica :
Então, a integral fica:
Vamos calcular cada parte separadamente:
Então, a integral total é:

Passo 4

Agora que temos a integral, vamos calcular o valor médio usando a fórmula que vimos no Passo 2:
é
Então, o valor médio de no intervalo é .

Passo 5

Por último, precisamos encontrar o valor de no intervalo onde . Ou seja, resolver:
Vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados:
No intervalo , os valores de que satisfazem essa equação são:

Resposta

O valor médio de no intervalo é , e isso ocorre em e .

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