Determine o valor médio de cada função
abaixo nos intervalos indicados e o valor de
em que isso ocorre:
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor médio da função
no intervalo de
e também descobrir em qual valor de
isso ocorre. Para isso, vamos usar o conceito de valor médio de uma função, que envolve calcular uma integral. Então, vamos precisar saber como calcular integrais de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio de uma função
em um intervalo
. A fórmula é:
Aqui,
e
. Então, vamos aplicar essa fórmula para a nossa função
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de
de
a
. Para facilitar, vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica
:
Então, a integral fica:
Vamos calcular cada parte separadamente:
Então, a integral total é:
Passo 4
Agora que temos a integral, vamos calcular o valor médio usando a fórmula que vimos no Passo 2:
Então, o valor médio de
no intervalo
é
.
Passo 5
Por último, precisamos encontrar o valor de
no intervalo
onde
. Ou seja, resolver:
Vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados:
No intervalo
, os valores de
que satisfazem essa equação são:
Resposta
O valor médio de
no intervalo
é
, e isso ocorre em
e
.
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.
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