Prove que, em um mesmo círculo ou em círculos de mesmo raio, se duas cordas tem comprimentos diferentes, a mais curta é a mais afastada do centro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um círculo (ou círculos que têm o mesmo tamanho) e duas cordas dentro dele. As cordas são como linhas que conectam dois pontos na borda do círculo. A questão diz que, se essas duas cordas têm tamanhos diferentes, a que for mais curta estará mais longe do centro do círculo. Para provar isso, vamos precisar usar alguns conceitos básicos de geometria de círculos, como raio, corda e a relação entre o comprimento da corda e a distância do centro.

Passo 2

Vamos começar lembrando que todo círculo tem um centro e um raio , que é a distância do centro até qualquer ponto na borda do círculo. Uma corda é uma linha que conecta dois pontos na borda do círculo. A distância do centro até a corda é a menor distância possível entre esses dois pontos, ou seja, uma linha perpendicular da corda ao centro.

Passo 3

Agora, vamos relacionar o comprimento da corda à distância do centro. Existe uma fórmula que conecta esses dois valores. Se tivermos uma corda de comprimento e a distância do centro até essa corda for , a fórmula é:
Essa fórmula vem do fato de formar um triângulo retângulo onde o raio é a hipotenusa, é um dos catetos, e é o outro cateto.

Passo 4

Vamos considerar duas cordas: uma com comprimento e outra com comprimento . Suponha que , ou seja, a primeira corda é mais curta que a segunda. Queremos provar que a distância da primeira corda ao centro é maior que a distância da segunda corda ao centro.

Passo 5

Usando a fórmula mencionada, temos:
Como , isso implica que , porque ao elevar ao quadrado, a desigualdade permanece.

Passo 6

Então, . Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, como a raiz quadrada é uma função crescente, a desigualdade se mantém:

Resposta

Portanto, provamos que, em um mesmo círculo ou em círculos de mesmo raio, se duas cordas têm comprimentos diferentes, a corda mais curta está mais afastada do centro.

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