Prove que, em um mesmo círculo ou em círculos de mesmo raio, se duas cordas tem comprimentos diferentes, a mais curta é a mais afastada do centro.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um círculo (ou círculos que têm o mesmo tamanho) e duas cordas dentro dele. As cordas são como linhas que conectam dois pontos na borda do círculo. A questão diz que, se essas duas cordas têm tamanhos diferentes, a que for mais curta estará mais longe do centro do círculo. Para provar isso, vamos precisar usar alguns conceitos básicos de geometria de círculos, como raio, corda e a relação entre o comprimento da corda e a distância do centro.
Passo 2
Vamos começar lembrando que todo círculo tem um centro e um raio
, que é a distância do centro até qualquer ponto na borda do círculo. Uma corda é uma linha que conecta dois pontos na borda do círculo. A distância do centro até a corda é a menor distância possível entre esses dois pontos, ou seja, uma linha perpendicular da corda ao centro.
Passo 3
Agora, vamos relacionar o comprimento da corda à distância do centro. Existe uma fórmula que conecta esses dois valores. Se tivermos uma corda de comprimento
e a distância do centro até essa corda for
, a fórmula é:
Essa fórmula vem do fato de formar um triângulo retângulo onde o raio
é a hipotenusa,
é um dos catetos, e
é o outro cateto.
Passo 4
Vamos considerar duas cordas: uma com comprimento
e outra com comprimento
. Suponha que
, ou seja, a primeira corda é mais curta que a segunda. Queremos provar que a distância
da primeira corda ao centro é maior que a distância
da segunda corda ao centro.
Passo 5
Usando a fórmula mencionada, temos:
Como
, isso implica que
, porque ao elevar ao quadrado, a desigualdade permanece.
Passo 6
Então,
. Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, como a raiz quadrada é uma função crescente, a desigualdade se mantém:
Resposta
Portanto, provamos que, em um mesmo círculo ou em círculos de mesmo raio, se duas cordas têm comprimentos diferentes, a corda mais curta está mais afastada do centro.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada da função:
.
Determine o valor médio de cada função
abaixo nos intervalos indicados e o valor de
em que isso ocorre:
em
Resolva as integrais das funções trigométricas:
Explique porque o reflexo de um círculo relativamente a uma reta que passa pelo seu centro é ainda o mesmo círculo.