Resolva as integrais das funções trigométricas: integral d xsin ^2(x)+tan ^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de uma função trigonométrica:
integral dxsin^2(x) + tan^2(x)
Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão no denominador e então encontrar a antiderivada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador tan^2(x) = sin^2(x)cos^2(x) . Sabemos que sin^2(x) + tan^2(x) = sin^2(x) + sin^2(x)cos^2(x) = sin^2(x)(1 + 1cos^2(x)) , então:
Agora, substituímos na expressão do denominador:

Passo 3

Percebemos que sin^2(x)(1 + sec^2(x)) é igual a 1 + sec^2(x) = 1 + 1 + tan^2(x) = 2 + tan^2(x) , então podemos escrever:
Sabemos também que , então:
Mas isso não simplifica muito. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar 1 - cos^4(x) = (1 - cos^2(x))(1 + cos^2(x)) = sin^2(x)(1 + cos^2(x)) :
sin^2(x) + tan^2(x) = 1 - cos^4(x)cos^2(x) = sin^2(x)(1 + cos^2(x))cos^2(x)
Agora, nosso denominador original fica:

Passo 5

A integral original agora pode ser escrita como:
integral dxsin^2(x) + tan^2(x) = integral cos^2(x)1 - cos^4(x) dx
Vamos simplificar ainda mais. Sabemos que cos^2(x)1 - cos^4(x) = cos^2(x)sin^2(x)(1 + cos^2(x)) , então:
cos^2(x)sin^2(x)(1 + cos^2(x)) = cot^2(x)1 + cos^2(x)
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar integral cot^2(x)1 + cos^2(x) dx = integral cos^2(x)sin^2(x)(1 + cos^2(x)) dx = integral u^2(1 - u^2)(1 + u^2) cdot (-duraiz1 - u^2) , então . Precisamos ajustar a integral para termos :
Isso fica complicado, então vamos optar por outra abordagem usando identidades trigonométricas.

Passo 7

Vamos reescrever a integral original de outra maneira. Sabemos que:
sin^2(x) = 1 - cos^2(x)
tan^2(x) = sin^2(x)cos^2(x) = 1 - cos^2(x)cos^2(x)
Portanto:
sin^2(x) + tan^2(x) = 1 - cos^2(x) + 1 - cos^2(x)cos^2(x) = (1 - cos^2(x))(1 + 1cos^2(x)) = (1 - cos^2(x))sec^2(x)
Então, a integral se torna:
integral dx(1 - cos^2(x))sec^2(x) = integral cos^2(x)1 - cos^2(x) dx = integral cos^2(x)sin^2(x) dx = integral cot^2(x) dx

Passo 8

Agora, sabemos que:
cot^2(x) = csc^2(x) - 1
Então, a integral fica:
integral cot^2(x) dx = integral (csc^2(x) - 1) dx = -cot(x) - x + C

Resposta

A integral de -cot(x) - x + C é:
onde é a constante de integração.

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