Resolva as integrais das funções trigométricas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de uma função trigonométrica: Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão no denominador e então encontrar a antiderivada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Sabemos que , então: Agora, substituímos na expressão do denominador:

Passo 3

Percebemos que é igual a , então podemos escrever: Sabemos também que , então: Mas isso não simplifica muito. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar : Agora, nosso denominador original fica:

Passo 5

A integral original agora pode ser escrita como: Vamos simplificar ainda mais. Sabemos que , então: Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar , então . Precisamos ajustar a integral para termos : Isso fica complicado, então vamos optar por outra abordagem usando identidades trigonométricas.

Passo 7

Vamos reescrever a integral original de outra maneira. Sabemos que: Portanto: Então, a integral se torna:

Passo 8

Agora, sabemos que: Então, a integral fica:

Resposta

A integral de é: onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Prove que, em um mesmo círculo ou em círculos de mesmo raio, se duas cordas tem comprimentos diferentes, a mais curta é a mais afastada do centro.
Calcule a derivada da função: .
Explique porque o reflexo de um círculo relativamente a uma reta que passa pelo seu centro é ainda o mesmo círculo.
Resolva as integrais das funções trigométricas: