Prove que, em um mesmo círculo ou em círculos de mesmo raio, cordas equidistantes do centro são congruentes.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema que pede pra provar que, em um mesmo círculo ou em círculos que têm o mesmo raio, as cordas que estão na mesma distância do centro são do mesmo tamanho. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre círculos, cordas, raios e como eles se relacionam geometricamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma corda é um segmento de reta que liga dois pontos qualquer na circunferência de um círculo. O raio é a distância do centro do círculo até qualquer ponto da circunferência. Quando a corda está a uma certa distância do centro, essa distância é medida ao longo de uma linha perpendicular da corda até o centro.

Passo 3

Vamos considerar duas cordas e em um círculo com centro , ambas a uma mesma distância do centro . A distância é a perpendicular de às cordas e .

Passo 4

Desenhamos as perpendiculares de às cordas e , sejam elas e respectivamente, onde é o ponto médio de e é o ponto médio de . Como , já sabemos que a distância do centro até ambas as cordas é a mesma.

Passo 5

Agora, observamos que os triângulos e são triângulos congruentes. Isso porque:
  • (ambos são raios do círculo),
  • (ambas as distâncias do centro são iguais),
  • (as perpendiculares formam ângulos retos).

Passo 6

Pela congruência dos triângulos, temos que . Mas como e são os pontos médios das cordas e , isso significa que .

Resposta

Portanto, provamos que, em um mesmo círculo ou em círculos com o mesmo raio, cordas equidistantes do centro são congruentes, ou seja, têm o mesmo comprimento.

Exercícios relacionados

Sendo definida por , calcule .
Determine o valor médio de cada função abaixo nos intervalos indicados e o valor de em que isso ocorre: em
Calcule a derivada da função: .