Calcule a derivada da função
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
no ponto
. A gente vai usar o cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia, porque temos uma função que é o produto de duas outras funções compostas por funções mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função para facilitar a derivação. Vamos chamar:
A derivada de
usa a regra do produto, que diz que:
Passo 3
Vamos encontrar
. Temos que
, que é uma função composta, então usamos a regra da cadeia. A derivada fica:
Aqui, derivamos o exterior (
) e multiplicamos pela derivada do interior (
).
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Temos
, também uma função composta. Aplicando a regra da cadeia:
Derivamos o exterior (
) e multiplicamos pela derivada do interior (
).
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos substituir na fórmula da regra do produto:
Passo 6
Agora, vamos substituir
na expressão de
:
Primeiro, calculamos cada parte:
Primeiro, calculamos cada parte:
Substituindo:
Agora, substituindo na regra do produto:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Uma casca cilindrica tem 20 cm de altura, com raio interno 6 cm e raio externo 7 cm . Escreva desigualdades que descrevam a casca em um sistema de coordenadas adequado. Explique como você posicionou o sistema de coordenadas em relação à casca. Escreva uma integral cujo valor é igual ao volume dessa casca (não é necessário resolver).
Faça as mudanças de coordenadas pedidas. Dado
em coordenadas cilindricas, encontre suas coordenadas cartesianas (retangulares).
Considere
definida por
. Usando o Teorema da Função Inversa, obtenha a derivada a função
.
Calcule os limites da forma: