Calcule a derivada da função f(x) = (sen x + e^x)^2 (cos x + x^3)^3 no ponto p0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função no ponto . A gente vai usar o cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia, porque temos uma função que é o produto de duas outras funções compostas por funções mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função para facilitar a derivação. Vamos chamar:
A derivada de usa a regra do produto, que diz que:

Passo 3

Vamos encontrar . Temos que , que é uma função composta, então usamos a regra da cadeia. A derivada fica:
Aqui, derivamos o exterior ( ) e multiplicamos pela derivada do interior ( ).

Passo 4

Agora, vamos derivar . Temos , também uma função composta. Aplicando a regra da cadeia:
Derivamos o exterior ( ) e multiplicamos pela derivada do interior ( ).

Passo 5

Agora que temos e , vamos substituir na fórmula da regra do produto:

Passo 6

Agora, vamos substituir na expressão de :
Primeiro, calculamos cada parte:
Substituindo:
Agora, substituindo na regra do produto:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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Considere f: (0, ∞) -> (0, ∞) definida por f(x) = raiz(x). Usando o Teorema da Função Inversa, obtenha a derivada a função f^(-1)(x) = x^2.
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