Uma casca cilindrica tem 20 cm de altura, com raio interno 6 cm e raio externo 7 cm . Escreva desigualdades que descrevam a casca em um sistema de coordenadas adequado. Explique como você posicionou o sistema de coordenadas em relação à casca. Escreva uma integral cujo valor é igual ao volume dessa casca (não é necessário resolver).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos uma casca cilíndrica com 20 cm de altura, raio interno de 6 cm e raio externo de 7 cm. O conteúdo que vamos usar envolve geometria espacial, especificamente o estudo de cilindros e volumes. Para resolver, vamos precisar entender como representar essa casca usando desigualdades em um sistema de coordenadas e depois montar uma integral para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas adequado. Como estamos lidando com uma forma cilíndrica, o sistema de coordenadas cilíndricas é perfeito. Nesse sistema, usamos três parâmetros: (raio), (ângulo) e (altura).

Passo 3

Vamos posicionar o sistema de coordenadas de modo que o eixo seja o eixo central da casca. Isso significa que a altura da casca vai se estender ao longo do eixo , de 0 a 20 cm. Os raios vão se estender a partir do eixo , de 6 cm a 7 cm.

Passo 4

Agora, vamos escrever as desigualdades que descrevem a casca:
  • Para o raio , já que a casca tem raio interno de 6 cm e externo de 7 cm, temos:
  • Para o ângulo , como queremos descrever todo o círculo, varia de 0 a :
  • Para a altura , como a casca tem 20 cm de altura, vamos de 0 a 20:

Passo 5

Finalmente, para escrever uma integral que represente o volume dessa casca, usamos a fórmula do volume em coordenadas cilíndricas:
Essa integral soma, em pequenas fatias, os volumes de cilindros infinitesimais que compõem toda a casca.

Resposta

A integral que representa o volume da casca cilíndrica é:

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é contínua no 0 mas não diferenciável no 0
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