Uma casca cilindrica tem 20 cm de altura, com raio interno 6 cm e raio externo 7 cm . Escreva desigualdades que descrevam a casca em um sistema de coordenadas adequado. Explique como você posicionou o sistema de coordenadas em relação à casca. Escreva uma integral cujo valor é igual ao volume dessa casca (não é necessário resolver).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos uma casca cilíndrica com 20 cm de altura, raio interno de 6 cm e raio externo de 7 cm. O conteúdo que vamos usar envolve geometria espacial, especificamente o estudo de cilindros e volumes. Para resolver, vamos precisar entender como representar essa casca usando desigualdades em um sistema de coordenadas e depois montar uma integral para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas adequado. Como estamos lidando com uma forma cilíndrica, o sistema de coordenadas cilíndricas é perfeito. Nesse sistema, usamos três parâmetros:
(raio),
(ângulo) e
(altura).
Passo 3
Vamos posicionar o sistema de coordenadas de modo que o eixo
seja o eixo central da casca. Isso significa que a altura da casca vai se estender ao longo do eixo
, de 0 a 20 cm. Os raios vão se estender a partir do eixo
, de 6 cm a 7 cm.
Passo 4
Agora, vamos escrever as desigualdades que descrevem a casca:
-
Para o raio
, já que a casca tem raio interno de 6 cm e externo de 7 cm, temos: -
Para o ângulo
, como queremos descrever todo o círculo, varia de 0 a : -
Para a altura
, como a casca tem 20 cm de altura, vamos de 0 a 20:
Passo 5
Finalmente, para escrever uma integral que represente o volume dessa casca, usamos a fórmula do volume em coordenadas cilíndricas:
Essa integral soma, em pequenas fatias, os volumes de cilindros infinitesimais que compõem toda a casca.
Resposta
A integral que representa o volume da casca cilíndrica é:
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Faça as mudanças de coordenadas pedidas. Dado
em coordenadas cilindricas, encontre suas coordenadas cartesianas (retangulares).
Mostre que a função
é contínua no 0 mas não diferenciável no 0
Calcule a derivada da função
no ponto
Considere
definida por
. Usando o Teorema da Função Inversa, obtenha a derivada a função
.