Considere
definida por
. Usando o Teorema da Função Inversa, obtenha a derivada a função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a derivada da função inversa de
, que é
. Vamos usar o Teorema da Função Inversa, que faz parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar derivadas e aplicar o teorema que relaciona as derivadas de funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Função Inversa. Esse teorema diz que, se
e
são funções inversas e diferenciáveis, então a derivada da função inversa em um ponto
é igual ao inverso da derivada da função original no ponto
. Matematicamente, isso é escrito como:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função original
. Para isso, usamos a regra de potência. Lembrando que
pode ser escrito como
, a derivada é:
Passo 4
Em seguida, precisamos substituir
na derivada da função original. Sabemos que
, então:
(Note que
porque estamos no intervalo
)
Passo 5
Finalmente, aplicando o Teorema da Função Inversa:
Resposta
A derivada da função inversa
é
.