Considere f: (0, ∞) -> (0, ∞) definida por f(x) = raiz(x). Usando o Teorema da Função Inversa, obtenha a derivada a função f^(-1)(x) = x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a derivada da função inversa de , que é . Vamos usar o Teorema da Função Inversa, que faz parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar derivadas e aplicar o teorema que relaciona as derivadas de funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Função Inversa. Esse teorema diz que, se e são funções inversas e diferenciáveis, então a derivada da função inversa em um ponto é igual ao inverso da derivada da função original no ponto . Matematicamente, isso é escrito como:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função original . Para isso, usamos a regra de potência. Lembrando que pode ser escrito como , a derivada é:

Passo 4

Em seguida, precisamos substituir na derivada da função original. Sabemos que , então:
(Note que porque estamos no intervalo )

Passo 5

Finalmente, aplicando o Teorema da Função Inversa:

Resposta

A derivada da função inversa é .

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