Calcule os limites da forma: 00 e inftyinfty lim x 0 x-sin x3 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 x-sin x3 x^2. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo, mais especificamente sobre limites e formas indeterminadas. A gente vai precisar usar a Regra de L’Hôpital, que nos ajuda a resolver limites que dão resultados como 00 ou inftyinfty.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir o valor de x por 0 na expressão para ver o que acontece:
0 - sin(0)3 cdot 0^2 = 0 - 00 = 00
A gente pegou uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital para simplificar o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma 00 ou inftyinfty, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e depois calcular o limite novamente. Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador x - sin x:
ddx(x - sin x) = 1 - cos x
Derivada do denominador 3x^2:
ddx(3x^2) = 6x

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
lim x 0 1 - cos x6x
Vamos verificar novamente substituindo x = 0:
1 - cos(0)6 cdot 0 = 1 - 10 = 00
Ainda estamos com a forma indeterminada 00, então precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Derivada do numerador 1 - cos x:
ddx(1 - cos x) = sin x
Derivada do denominador 6x:
ddx(6x) = 6

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente:
lim x 0 sin x6
Dessa vez, substituindo x = 0:
sin(0)6 = 06 = 0

Resposta

O limite lim x 0 x-sin x3 x^2 é igual a 0.

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