Calcule a derivada da função em na direção do vetor unitário .

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função no ponto na direção do vetor unitário . Isso faz parte do estudo de derivadas direcionais, que nos ajuda a entender como a função muda em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e suas componentes são as derivadas parciais.

Passo 4

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção para garantir que ele seja unitário (ou seja, tenha comprimento 1). No caso, já foi dado que é um vetor unitário:

Passo 5

A derivada direcional é calculada fazendo o produto escalar entre o gradiente da função no ponto considerado e o vetor direção unitário. Isso nos dá a taxa de variação da função na direção especificada.

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional da função na direção do vetor unitário dado é .

Exercícios relacionados

Calcule a derivada das curvas dadas a seguir:
(a)
Calcule a taxa de variação da função na direção no ponto .
Dada a função , calcule o valor máximo de no ponto .