Calcule a taxa de variação da função na direção no ponto .
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede para calcular a taxa de variação da função na direção de no ponto . Isso envolve entender conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e derivadas direcionais. Vamos precisar das derivadas parciais da função e da direção dada para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda à medida que uma variável muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cujas componentes são as derivadas parciais que acabamos de calcular.
Substituindo e :
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a direção em forma de vetor unitário. A direção de em coordenadas cartesianas é dada pelas componentes do vetor:
Sabendo que , temos:
Passo 5
A taxa de variação da função na direção dada é calculada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário na direção desejada. Ou seja:
Calculando o produto escalar:
Passo 6
Vamos somar as frações:
Resposta
A taxa de variação da função na direção no ponto é .