Calcule a taxa de variação da função f(x, y) = (1/16) x^2 + (1/9) y^2 na direção pi/4 no ponto (4, 3).

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para calcular a taxa de variação da função na direção de no ponto . Isso envolve entender conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e derivadas direcionais. Vamos precisar das derivadas parciais da função e da direção dada para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda à medida que uma variável muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e cujas componentes são as derivadas parciais que acabamos de calcular.
Substituindo e :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Agora, precisamos determinar a direção em forma de vetor unitário. A direção de em coordenadas cartesianas é dada pelas componentes do vetor:
Sabendo que , temos:

Passo 5

A taxa de variação da função na direção dada é calculada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário na direção desejada. Ou seja:
Calculando o produto escalar:

Passo 6

Vamos somar as frações:

Resposta

A taxa de variação da função na direção no ponto é .

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