Dada a função
, calcule o valor máximo de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos encontrar o valor máximo da derivada direcional
no ponto
. Para isso, vamos usar noções de cálculo de derivadas parciais e vetores-gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função
na direção de um vetor unitário
é dada por:
onde
é o vetor-gradiente da função
no ponto
, e
representa o produto escalar entre vetores.
Passo 3
Vamos calcular o vetor-gradiente
. As componentes do vetor-gradiente são as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Então, o vetor-gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor-gradiente no ponto específico
:
Passo 5
Para encontrar o valor máximo da derivada direcional
, precisamos considerar a máxima projeção do vetor-gradiente sobre qualquer vetor unitário
. Isso acontece quando
está na mesma direção do vetor-gradiente. Portanto, o valor máximo é igual ao módulo (ou norma) do vetor-gradiente.
Resposta
O valor máximo de
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a taxa de variação da função
na direção
no ponto
.
Calcule a derivada da função
em
na direção do vetor unitário
.
Determine o vetor gradiente de
no ponto
e a taxa de variação na direção de
.
Determine o vetor gradiente da função
.