Dada a função , calcule o valor máximo de no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar o valor máximo da derivada direcional no ponto . Para isso, vamos usar noções de cálculo de derivadas parciais e vetores-gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função na direção de um vetor unitário é dada por:
onde é o vetor-gradiente da função no ponto , e representa o produto escalar entre vetores.

Passo 3

Vamos calcular o vetor-gradiente . As componentes do vetor-gradiente são as derivadas parciais de em relação a e .
Então, o vetor-gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor-gradiente no ponto específico :

Passo 5

Para encontrar o valor máximo da derivada direcional , precisamos considerar a máxima projeção do vetor-gradiente sobre qualquer vetor unitário . Isso acontece quando está na mesma direção do vetor-gradiente. Portanto, o valor máximo é igual ao módulo (ou norma) do vetor-gradiente.

Resposta

O valor máximo de é .

Exercícios relacionados

Calcule a taxa de variação da função na direção no ponto .
Calcule a derivada da função em na direção do vetor unitário .
Determine o vetor gradiente de no ponto e a taxa de variação na direção de .
Determine o vetor gradiente da função .