Calcule a derivada da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação. Isso porque quando temos uma função na forma
, onde tanto
quanto
são funções de
, o logaritmo ajuda a simplificar a expressão.
Passo 3
Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Para o lado esquerdo, usamos a derivada do logaritmo:
Passo 5
No lado direito, temos um produto de duas funções:
e
. Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
:
Passo 6
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 7
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta na equação:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais abaixo quanto a convergência
(a)
(a)
Determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
Existe tal que
.
Existe
Calcule os seguintes limites
a)
a)
Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral abaixo quanto a convergência: