Calcule a derivada da função
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções que têm variáveis tanto na base quanto no expoente. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação. Isso porque quando temos uma função na forma , onde tanto quanto são funções de , o logaritmo ajuda a simplificar a expressão.

Passo 3

Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Para o lado esquerdo, usamos a derivada do logaritmo:

Passo 5

No lado direito, temos um produto de duas funções: e . Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é :

Passo 6

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 7

Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta na equação:

Resposta

A derivada da função é:

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Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais abaixo quanto a convergência
(a)
Determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
Existe tal que .
Calcule os seguintes limites
a)
Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral abaixo quanto a convergência: