Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais abaixo quanto a convergência
(a) integral0^pi2 tan (theta) d theta

Passo 1

Vamos analisar o exercício que é sobre testar a convergência da integral . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais impróprias e os testes de comparação para determinar se a integral converge ou diverge. Para resolver, vamos usar a técnica de integração direta e entender o comportamento da função no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Queremos integrar essa função de a . Note que, conforme se aproxima de , se aproxima de , o que faz com que cresça sem limite, tendendo ao infinito. Isso sugere que a integral pode ser imprópria no limite superior.

Passo 3

Para integrar integral tan(theta) dtheta = integral sin(theta)cos(theta) dtheta = -integral 1u du = -ln|u| + C = -ln|cos(theta)| + C , podemos usar a substituição . Então, , o que nos permite reescrever a integral:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral definida de integral0^pi2 tan(theta) dtheta = [ -ln|cos(theta)| ]0^pi2 = -ln|cos(pi2)| + ln|cos(0)| a -ln(0) + ln(1) :
Sabemos que e . Então:

Passo 5

Sabemos que -ln(0) = -(-infty) = +infty e que tende a . Portanto:
Isso significa que a integral tende a , ou seja, ela não tem um valor finito.

Resposta

A integral diverge.

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