Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais abaixo quanto a convergência
(a)

Passo 1

Vamos analisar o exercício que é sobre testar a convergência da integral . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais impróprias e os testes de comparação para determinar se a integral converge ou diverge. Para resolver, vamos usar a técnica de integração direta e entender o comportamento da função no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Queremos integrar essa função de a . Note que, conforme se aproxima de , se aproxima de , o que faz com que cresça sem limite, tendendo ao infinito. Isso sugere que a integral pode ser imprópria no limite superior.

Passo 3

Para integrar , podemos usar a substituição . Então, , o que nos permite reescrever a integral:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral definida de a :
Sabemos que e . Então:

Passo 5

Sabemos que e que tende a . Portanto:
Isso significa que a integral tende a , ou seja, ela não tem um valor finito.

Resposta

A integral diverge.

Exercícios relacionados

Determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
Existe tal que .
Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(e) .
Calcule a derivada da função
.
Calcule os seguintes limites
a)