Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais abaixo quanto a convergência
(a)
(a)
Passo 1
Vamos analisar o exercício que é sobre testar a convergência da integral
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais impróprias e os testes de comparação para determinar se a integral converge ou diverge. Para resolver, vamos usar a técnica de integração direta e entender o comportamento da função
no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
. Queremos integrar essa função de
a
. Note que, conforme
se aproxima de
,
se aproxima de
, o que faz com que
cresça sem limite, tendendo ao infinito. Isso sugere que a integral pode ser imprópria no limite superior.
Passo 3
Para integrar
, podemos usar a substituição
. Então,
, o que nos permite reescrever a integral:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a integral definida de
a
:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 5
Sabemos que
e que
tende a
. Portanto:
Isso significa que a integral tende a
, ou seja, ela não tem um valor finito.
Resposta
A integral
diverge.
Exercícios relacionados
Determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
Existe tal que
.
Existe
Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(e) .
(e)
Calcule a derivada da função
.
Calcule os seguintes limites
a)
a)